Posted by সংখ্যা গণিত (Number System)
সংখ্যা গণিত (Number System)
Lecture Sheet–1 : সংখ্যা গণিতের সম্পূর্ণ পরিচিতি
১. সংখ্যা গণিত (Number System) কী?
সংখ্যা গণিত হলো গণিতের এমন একটি শাখা যেখানে বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা, তাদের বৈশিষ্ট্য, শ্রেণিবিভাগ, সম্পর্ক এবং ব্যবহার নিয়ে আলোচনা করা হয়।
সংজ্ঞা: পরিমাণ, অবস্থান, ক্রম বা পরিমাপ প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত প্রতীক বা মানকে সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: 1, 2, 3, -5, 0, 2/3, √5, π।
২. সংখ্যা পদ্ধতির ইতিহাস
| সভ্যতা | অবদান |
| ব্যাবিলনীয় | ৬০ ভিত্তিক সংখ্যা পদ্ধতি। |
| রোমান | I, V, X, L, C, D, M। |
| ভারতীয় | ০ (Zero) আবিষ্কার ও দশমিক পদ্ধতি। |
| আরব | ভারতীয় সংখ্যা বিশ্বে প্রচার। |
পরীক্ষায় গুরুত্বপূর্ণ: শূন্যের ধারণা ভারতীয় গণিতবিদ ব্রহ্মগুপ্ত জনপ্রিয় করেন।
৩. সংখ্যা রেখা (Number Line)
বৈশিষ্ট্য
- ডান দিকে সংখ্যা বড় হয়।
- বাম দিকে সংখ্যা ছোট হয়।
- শূন্য ধনাত্মক ও ঋণাত্মকের মাঝখানে।
৪. সংখ্যার শ্রেণিবিভাগ (Classification of Numbers)
| সংখ্যার ধরন | উদাহরণ |
| Natural Number (স্বাভাবিক) | 1,2,3,4… |
| Whole Number (পূর্ণ) | 0,1,2,3… |
| Integer (পূর্ণসংখ্যা) | …-2,-1,0,1,2… |
| Rational Number (মূলদ) | 2/3, -5, 0.25 |
| Irrational Number (অমূলদ) | √2, π |
| Real Number | মূলদ + অমূলদ |
| Imaginary Number | −1=i\sqrt{-1}=i−1=i |
| Complex Number | a+bia+bia+bi |
৫. Natural Number (স্বাভাবিক সংখ্যা)
সংজ্ঞা: গণনার জন্য ব্যবহৃত সংখ্যা।
N={1,2,3,4,5,…}N=\{1,2,3,4,5,…\}N={1,2,3,4,5,…}
গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
| বৈশিষ্ট্য | উদাহরণ |
| সবচেয়ে ছোট | 1 |
| সবচেয়ে বড় | নেই |
| শূন্য আছে? | না |
| ঋণাত্মক আছে? | না |
MCQ Fact: Natural Number-এর সংখ্যা অসীম।
৬. Whole Number (পূর্ণ সংখ্যা)
W={0,1,2,3,4,…}W=\{0,1,2,3,4,…\}W={0,1,2,3,4,…}
Natural Number + Zero
| বৈশিষ্ট্য | মান |
| ছোট সংখ্যা | 0 |
| ঋণাত্মক | নেই |
৭. Integer (পূর্ণসংখ্যা)
Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}Z=\{…, -3,-2,-1,0,1,2,3,…\}Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
ধরন
| ধরন | উদাহরণ |
| Positive Integer | 1,2,3 |
| Negative Integer | -1,-2,-3 |
| Zero Integer | 0 |
Properties
- যোগে বন্ধ।
- বিয়োগে বন্ধ।
- গুণে বন্ধ।
- ভাগে সবসময় বন্ধ নয়।
৮. Even ও Odd Number
| Even | Odd |
| 2 দ্বারা বিভাজ্য | 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় |
| 2,4,6,8 | 1,3,5,7 |
গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
| অপারেশন | ফলাফল |
| Even + Even | Even |
| Even + Odd | Odd |
| Odd + Odd | Even |
| Odd × Odd | Odd |
| Even × Odd | Even |
৯. Prime Number (মৌলিক সংখ্যা)
সংজ্ঞা: ১ ও নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১–১০০ পর্যন্ত Prime Numbers
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
বৈশিষ্ট্য
| তথ্য | উত্তর |
| সবচেয়ে ছোট Prime | 2 |
| একমাত্র জোড় Prime | 2 |
| 1 কি Prime? | না |
১০. Composite Number (যৌগিক সংখ্যা)
সংজ্ঞা: দুইয়ের বেশি গুণনীয়ক আছে।
উদাহরণ: 4,6,8,9,10,12
Important Facts
| প্রশ্ন | উত্তর |
| সবচেয়ে ছোট Composite | 4 |
| 1 Composite? | না |
| 2 Composite? | না |
১১. Co-prime Number
সংজ্ঞা: দুটি সংখ্যার GCD = 1।
উদাহরণ
| সংখ্যা | GCD |
| 8 ও 15 | 1 |
| 14 ও 25 | 1 |
| 21 ও 22 | 1 |
১২. Rational Number (মূলদ সংখ্যা)
pq, q≠0\frac{p}{q},\; q\ne0qp,q=0
উদাহরণ
| সংখ্যা | মূলদ? |
| 2/3 | হ্যাঁ |
| -5 | হ্যাঁ |
| 0.75 | হ্যাঁ |
| 5 | হ্যাঁ |
Decimal Form
- Terminating Decimal
- Recurring Decimal
১৩. Irrational Number (অমূলদ সংখ্যা)
সংজ্ঞা: ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।
উদাহরণ
| সংখ্যা | অমূলদ? |
| 2\sqrt22 | হ্যাঁ |
| 3\sqrt33 | হ্যাঁ |
| π | হ্যাঁ |
| e | হ্যাঁ |
১৪. Real Number
R=Q∪Q′R=Q\cup Q’R=Q∪Q′
অর্থাৎ
- সব মূলদ সংখ্যা
- সব অমূলদ সংখ্যা
১৫. Imaginary Number
i=−1i=\sqrt{-1}i=−1
Properties
| Expression | Value |
| i2i^2i2 | -1 |
| i3i^3i3 | -i |
| i4i^4i4 | 1 |
১৬. Complex Number
z=a+biz=a+biz=a+bi
| Part | Meaning |
| a | Real Part |
| b | Imaginary Part |
১৭. Positive ও Negative Number
| Positive | Negative |
| 0-এর ডানে | 0-এর বামে |
| +5 | -5 |
১৮. Absolute Value (পরম মান)
∣−5∣=5|-5|=5∣−5∣=5
∣8∣=8|8|=8∣8∣=8
Meaning: শূন্য থেকে দূরত্ব।
১৯. Factor ও Multiple
| Factor | Multiple |
| 12-এর Factor = 1,2,3,4,6,12 | 12-এর Multiple = 12,24,36… |
২০. Divisor ও Dividend
| Term | Meaning |
| Dividend | যাকে ভাগ করা হয় |
| Divisor | যে ভাগ করে |
| Quotient | ভাগফল |
| Remainder | ভাগশেষ |
Example
25÷4=6 remainder 125\div4=6\text{ remainder }125÷4=6 remainder 1
২১. Divisibility Rules (ভাগের নিয়ম)
| সংখ্যা | নিয়ম |
| 2 | শেষ অঙ্ক জোড়। |
| 3 | অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য। |
| 4 | শেষ দুই অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য। |
| 5 | শেষ অঙ্ক 0 বা 5। |
| 6 | 2 ও 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য। |
| 7 | বিশেষ নিয়ম। |
| 8 | শেষ তিন অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য। |
| 9 | অঙ্কগুলোর যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য। |
| 10 | শেষ অঙ্ক 0। |
| 11 | বিকল্প অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য 11 দ্বারা বিভাজ্য। |
| 12 | 3 ও 4 উভয় দ্বারা বিভাজ্য। |
২২. Prime Factorization
Example
360=23×32×5360=2^3\times3^2\times5360=23×32×5
Uses
- GCD
- LCM
- Simplification
২৩. GCD / HCF
Definition: সাধারণ গুণনীয়কের মধ্যে বৃহত্তম।
Example
24 ও 36
HCF=12HCF=12HCF=12
২৪. LCM
Definition: সাধারণ গুণিতকের মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
Example
12 ও 18
LCM=36LCM=36LCM=36
সম্পর্ক
LCM×HCF=Product of two numbersLCM\times HCF=\text{Product of two numbers}LCM×HCF=Product of two numbers
২৫. Decimal Number
| ধরন | উদাহরণ |
| Terminating | 0.5, 2.75 |
| Recurring | 0.333…, 1.272727… |
২৬. Fraction (ভগ্নাংশ)
| ধরন | উদাহরণ |
| Proper Fraction | 2/5 |
| Improper Fraction | 7/5 |
| Mixed Fraction | 1 2/5 |
| Equivalent Fraction | 1/2 = 2/4 |
২৭. Place Value ও Face Value
উদাহরণ: 4567
| Digit | Place Value | Face Value |
| 4 | 4000 | 4 |
| 5 | 500 | 5 |
| 6 | 60 | 6 |
| 7 | 7 | 7 |
২৮. Number Properties (সংখ্যার ধর্ম)
| Property | Formula |
| Closure | a+b∈Za+b\in Za+b∈Z |
| Commutative | a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a |
| Associative | (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c) |
| Distributive | a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac |
২৯. গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবক সংখ্যা
| Constant | Value |
| π | 3.141592… |
| e | 2.718281… |
| φ (Golden Ratio) | 1.618… |
৩০. চাকরির পরীক্ষায় সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য (One Page Revision)
| বিষয় | উত্তর |
| Natural Number শুরু | 1 |
| Whole Number শুরু | 0 |
| Smallest Prime | 2 |
| Only Even Prime | 2 |
| Smallest Composite | 4 |
| 1 Prime? | না |
| 1 Composite? | না |
| Prime (1–100) | 25টি |
| 2\sqrt22 | অমূলদ |
| 0 Rational? | হ্যাঁ |
| LCM × HCF | দুটি সংখ্যার গুণফল |
| Absolute Value | শূন্য থেকে দূরত্ব |